ვთქვათ,  ${\mu }_1$ და ${\mu }_2$ ორი ნორმალური პოპულაციის უცნობი საშუალოებია. ${\chi }_1$ და ${\chi }_2$  შესაბამისად პირველი და მეორე პოპულაციებიდან აღებული $n_1$ და $n_2$ მოცულობის შერჩევების საშუალოებია, პოპულაციების დისპერსიიები  ${\sigma }_{1, }^2{\sigma }_2^2$ ცნობილია.

ცენტრალური ზღვარითი თეორემის თანახმად ${\overline{x}}_1$-${\overline{x}}_2$ სხვაობა მიახლოებით ნორმალურადაა განაწილებული:

${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\cong N({\mu }_1-{\mu }_2;\frac{\sigma {\displaystyle \frac{2}{1}}}{n_1}+\frac{\sigma \frac{2}{2}}{n_2}).$

სიდიდეს  $Z=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n_1}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}}$ აქვს სტანდარტული ნორმალური განაწილება  N(0,1). პოპულაციის საშუალოთა შორის სხვაობისათვის  (1-a) 100% სიმედობის ნდობის ინტერვალია: ${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\pm Z_{a/2}\sqrt{\frac{\sigma {\displaystyle \frac{2}{1}}}{n_1}+\frac{\sigma {\displaystyle \frac{2}{2}}}{n_2}},$ სადაც $Z_{a/2}$ სტანდარტული ნორმალური განაწილების ზედა $\underline{a/2}$ კრიტიკული წერტილია, რომელიც უნდა ვიპოვოთ N(0,1) განაწილების ფუნქციის ცხრილში. თუ ორივე შერჩევის მოცულობა დიდია $n_1\ge 30; n_2\ge 30$ მაშინ დაშვება პოპულაციათა ნორმალურობის და ცნობილი დისპერსიების შესახებ არაა აუცილებელი და ნდობის ინტერვალს აქვს სახე ${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\pm Z_{a/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}},$ სადაც $S_1^{2 }, S_2^2$ შესაბამისად, პირველი და მეორე შერჩევების შესწორებული დისპერსიებია. თუ ეს ინტერვალი მოიცავს ნულს, შეგვიძლია, დავასკვნათ , პოპულაციის საშუალოები არ განსხვავდებიან ერთმანეთისგან.

ორი დამოუკიდებელი პოპულაციის საშუალოთა შორის განსხვავების ნდობის ინტერვალი, როცა ორივე ან ერთ-ერთი შერჩევის მოცულობა  ნაკლებია 30-ზე და პოპულაციათა დისპერსიები უცნობია, მაგრამ ${\sigma }_2^2={\sigma }_2^2$ მოიცემა ფორმულით ${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\pm t_{\frac{a}{2}}(n_1+n_2-2)S_c\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2},}$ სადაც $S_c^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$ , ხოლო $t_{\frac{a}{s}}(n_1+n_2-2)$ არის სტიუდენტის განაწილების $n_1+n_2-2$ თავისუფლების ხარისხით ზედა a/2 კრიტიკული წერტილია, რომელიც უნდა ვიპოვოთ t განაწილების კრიტიკული წერტილების  ცხრილში. 

ნდობის ინტერვალი ორი პოპულაციის საშუალოთა სხვაობისათვის, უცნობი არა ტოლი დისპერსიების შემთხვევაში  ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$ არის t  ${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\pm t_{\frac{a}{2}}\left(m\right)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2},}$ სადაც $S_1^2, S_2^2$ შესაბამისად, პირველი და მეორე შერჩევების შესწორებული დისპერსიებია, m არის  სტიუდენტის განაწილების თავისუფლების ხარისხი და .m=min ($n_1-1; n_{2}1)$.

ნდობის ინტერვალი ორი პოპულაციის პროპორციათა სხვაობისათვის (confidence interval on difference between proportions). 

 ხშირად საჭიროა პოპულაციის პროპორციების (ალბათობების) შედარება. თუ ორივე პოპულაციიდან აღებული შერჩევის მოცულობები მეტია 30-ზე, მაშინ პროპორციათა სხვაობისათვის (1-a)100%  საიმედოობის ნდობის ინტერვალია ${\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\pm Z_{a/2}\sqrt{\frac{{\hat{p}}_1{\hat{q}}_1}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2{\hat{q}}_2}{n_2}},$ სადაც ${\stackrel{⏜}{P}}_1$ პირველი პოპულაციიდან აღებული შერჩევის წარმატებათა ფარდობითი სიხშირეა ${\stackrel{⏜}{P}}_1=\frac{{\overline{S}}_1}{n_1}$, ხოლო ${\stackrel{⏜}{P}}_2=\frac{{\overline{S}}_2}{{}_{n_2}}$ - მეორე პოპულაციის შერჩევის წარმატებათა ფარდობითი სიხშირე, აქ ${\overline{S}}_1$ და ${\overline{S}}_2$  წარმატებათა რაოდენობებია, ${\stackrel{⏜}{q}}_1=1-{\stackrel{⏜}{p}}_1; {\stackrel{⏜}{q}}_2=1-{\stackrel{⏜}{p}}_2$.

ნდობის ინტერვალი  სასრულო პოპულაციისათვის (confidence intervals for finite populations)

ნდობის ინტერვალის აგებისას და ჰიპოთეზათა შემოწმებისას ხშირად გულისხმობენ რომ პოპულაციის მოცულობა ძალიან დიდია (უსასრულოა). თუ პოპულაციის მოცულობა არ არის დიდი, ყველა მიღებულ ფორმულაში უნდა შევიტანოთ მამრავლი (finite population correction factor). ეს მამრავლი სასრული N მოცულობის მქონე პოპულაციისათვის უდრის $\sqrt{\frac{N-n}{n-1}}, n$ შერჩევის მოცულობაა. ცხადია, ეს მამრავლი ყოველთვის ერთზე ნაკლებია და უახლოვდება ერთს, თუკი პოპულაციის მოცულობა გაცილებით დიდია შერჩევის მოცულობაზე. სასრულო პოპულაციისათვის შერჩევის საშუალოს სტანდარტული შეცდომა იქნება $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{n-1}}$. მაგალითად (1-a) 100% საიმედოობის ნდობის ინტერვალს ნორმალური პოპულაციის უცნობი საშუალოსათვის, ცნობილი დისპერსიის დროს ექნება სახე $\overline{X}\pm Z_{a/s}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.$   

შენიშვნა: თუ n < 5% N, საკორექციო მამრავლი არ არის საჭირო.

***

გამოყენებული ლიტერატურა:

Field, A. (2013). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics. SAGE Publications Ltd.

კისი, ჰ. (2008). სტატისტიკა სოციალურ მეცნიერებებში. სოციალურ მეცნიერებათა ცენტრი.  თბილისის უნივერსიტეტის გამომცემლობა